Question

4．已知直线l经过直线x+2y-5=0与2x-y=0的交点．
（1）若点P（2，0）到直线l的距离为1，求直线l的方程；
（2）若点A（-2，3），B（-4，5）到直线l的距离相等，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）联解两条已知直线，得交点坐标为（1，2）．然后按直线l是否与x轴垂直加以讨论，结合点到直线的距离公式进行计算，可得符合题意的直线l方程；
（2）当AB∥L时，利用点斜式即可得出直线L的方程；当AB的中点（4，-1）在直线L时，利用点斜式即可得出直线L的方程．

解答 解：（1）直线x+2y-5=0与2x-y=0联解，得交点坐标为（1，2），
①当直线l与x轴垂直时，方程 x=1，满足点P（2，0）到l的距离为1；
②当直线l与不x轴垂直时，设方程为y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
∵点P（2，0）到l的距离为1，
∴$\frac{|2k+2-k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=1，解之得k=-$\frac{3}{4}$，
此时直线l的方程为y-2=-$\frac{3}{4}$（x-1），
化简得：3x+4y-11=0，
综上所述，直线l的方程为 x=1或3x+4y-11=0；
（2）当AB∥L时，直线L的方程为：y-2=$\frac{5-3}{-4-（-2）}$（x-1），化为x+y-3=0．
当AB的中点（-3，4）在直线L时，
直线L的方程为：y-2=$\frac{2-4}{1-（-3）}$（x-1），化为x+2y-5=0．
综上可得直线L的方程为：x+y-3=0，或x+2y-5=0．

点评 本题求经过定点且与点A的距离为3的直线方程，着重考查了直线的交点求法、点到直线的距离公式和直线的方程等知识，属于中档题．