Question

15．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，把$\overrightarrow{a}$用含有$\overrightarrow{b}、\overrightarrow{c}$的式子表示，结合$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，可得$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{-2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$．然后代入数量积求夹角公式求解．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$+3$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，得$\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$，
代入$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$，得$（-2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}）•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$，即$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{-2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$．
再代入$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，得$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}•（-2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}）$，即$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$．
∴cos$＜\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}＞$=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{\sqrt{2（\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）^{2}}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．