Question

6．已知命题p：函数y=x²+mx+1在[-1，+∞）上单调递增，命题q：函数y=4x²+4（m-2）x+1大于零恒成立．若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数的性质求出命题的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解即可．

解答 解：函数y=x²+mx+1在[-1，+∞）上单调递增，
则对称性满足-$\frac{m}{2}$≤-1，即m≥2，
若y=4x²+4（m-2）x+1＞0恒成立，
则判别式△=16（m-2）²-16＜0，
即（m-2）²＜1，
即-1＜m-2＜1，即1＜m＜3，
若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，
则p，q为一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{m≥3或m≤1}\end{array}\right.$，即m≥3，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{m＜2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$，即1＜m＜2，
故实数m的取值范围是m≥3或1＜m＜2．

点评 本题主要考查复合命题的真假关系的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．