Question

1．如图，在平面四边形ABCD中，AB=5$\sqrt{2}$，∠CBD=75°，∠ABD=30°，∠CAB=45°，∠CAD=60°．
（1）求△ABC的面积S_△ABC；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）由题意在△BAC中由正弦定理可得BC，由和差角公式可得sin∠ABC，由三角形的面积公式可得；
（2）在△BAD中由正弦定理可得BD，由和差角公式可得cos75°，由余弦定理可得CD．

解答 解：（1）由题意可得∠ACB=180°-（75°+30°+45°）=30°，
在△BAC中，由正弦定理可得BC=$\frac{ABsin∠CAB}{sin∠ACB}$=$\frac{5\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$=10，
sin∠ABC=sin105°=sin（60°+45°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×10×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{25（1+\sqrt{3}）}{2}$；
（2）在△BAD中，由正弦定理可得BD=$\frac{ABsin∠BAD}{sin∠ADB}$=$\frac{5\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{5（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}{2}$，
又cos75°=cos（30°+45°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴由余弦定理可得CD²=BC²+BD²-2BC•BDcos∠CBD
=100+$\frac{25}{4}$（$\sqrt{6}+\sqrt{2}$）²-2×10×$\frac{5（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}{2}$×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=100+25$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{100+25\sqrt{3}}$

点评 本题考查三角形中的几何计算，涉及正余弦定理和和差角的三角函数公式，属中档题．