Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，2sinx），$\overrightarrow{b}$=（2cosx，-sinx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数y=f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{8}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）进行数量积的坐标运算可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，从而得出f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1$，从而得出f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）可令$\frac{x}{2}+\frac{π}{4}$=t，并根据x的范围可以求出t$∈[-\frac{π}{4}，π]$，从而可以求出sint在$[-\frac{π}{4}，π]$的最大值和最小值，从而得出$\sqrt{2}sint-1$的最大、最小值，即得出y的范围，从而得出y=f（x）在[$-\frac{π}{4}，\frac{3π}{8}$]上的值域．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2sinxcosx-2si{n}^{2}x$=$sin2x-1+cos2x=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1$；
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1$；
∴f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）令2x+$\frac{π}{4}$=t；
∵$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{8}]$；
∴$t∈[-\frac{π}{4}，π]$；
∴$t=\frac{π}{2}$时，sint取最大值1，∴$\sqrt{2}sint-1$取最大值$\sqrt{2}-1$；
t=$-\frac{π}{4}$时，sint取最小值$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\sqrt{2}sint-1$取最小值-2；
∴y=f（x）在$[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{8}]$上的值域为$[-2，\sqrt{2}-1]$．

点评 考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，以及两角和的正弦公式，计算y=Asin（ωx+φ）的最小正周期的公式：T=$\frac{2π}{|ω|}$，换元法求函数值域的方法，正弦函数在闭区间上的最值，要熟悉正弦函数的图象．