Question

4．判断直线ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$与圆ρ=4cosθ的位置关系，如果相交，求出直线被圆截得的线段的长度．

Answer 1

分析 求出直线的直角坐标方程和圆的直角坐标方程，求出圆的圆心（2，0），半径r=2和圆心（2，0）到直线的距离d，由d＜r，得直线与圆相交，利用勾股定理能求出直线被圆截得的线段的长度．

解答 解：直线ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ-\frac{1}{2}$=0的直角坐标方程为$\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-\frac{1}{2}=0$，
圆ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4，
圆的圆心（2，0），半径r=2，
圆心（2，0）到直线的距离d=$\frac{|\frac{1}{2}×2+0-\frac{1}{2}|}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}$=$\frac{1}{2}$，
∵d＜r，∴直线与圆相交，
直线被圆截得的线段的长度|AB|=$2\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{15}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查直线被圆截得得线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．