Question

15．已知点M是△ABC所在平面内的一点，且满足$7\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}$，则△ABM与△ABC的面积之比为4：7．

Answer 1

分析 根据条件$7\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}$作出平行四边形，根据各线段的比例关系寻找对应三角形的面积比．

解答 解：连接AM，BM，延长AC至D使AD=4AC，延长AM至E使AE=7AM，连接BE，则四边形ABED是平行四边形．
∵AD=4AC，AE=7AM，
∴S_△ABC=$\frac{1}{4}$S_△ABD，S_△AMB=$\frac{1}{7}$S_△ABE，
∵S_△ABD=S_△ABE，∴S_△ABM：S_△ABC=$\frac{1}{7}$：$\frac{1}{4}$=4：7．
故答案为4：7．

点评 本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，解题的关键是确定三角形的面积，属于中档题．