Question

6．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，点M在椭圆上，且满足MF₁⊥x轴，|MF₁|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+2交椭圆于A、B两点，求△ABO（O为坐标原点）面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和通径长公式，结合椭圆的a，b，c的关系，解方程即可得到a，b的值，今儿得到椭圆方程；
（2）直线l：y=kx+2与椭圆联立，表示出△AOB面积，利用韦达定理，结合换元，基本不等式，即可求△AOB面积的最大值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a=$\sqrt{3}$c
∵b²=a²-c²=a²-$\frac{1}{3}$a²=$\frac{2}{3}$a²①．
∵MF₁⊥x轴
∴|MF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$②
由①②可得a=2$\sqrt{3}$，b²=8
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l：y=kx+2与椭圆联立可得（2+3k²）x²+12kx-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{12k}{2+3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{12}{2+3{k}^{2}}$，
又原点到直线l：y=kx+2的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|d
=|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{96（1+3{k}^{2}）}{（2+3{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=1+3k²（t≥1），
则S²=$\frac{96t}{1+2t+{t}^{2}}$=$\frac{96}{t+\frac{1}{t}+2}$≤$\frac{96}{2\sqrt{t•\frac{1}{t}}+2}$=24．
当且仅当t=1，即k=0时，△AOB面积的最大值为2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．