Question

5．在△ABC中，若cos（A+2C-B）+sin（B+C-A）=2，且AB=2，则BC=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由cos（A+2C-B）+sin（B+C-A）=2，可得cos（A+2C-B）=1，sin（B+C-A）=1，由范围A，B，C∈（0，π），结合三角形内角和定理，三角函数的图象和性质可得：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{A+2C-B=0}{B+C-A=\frac{π}{2}}}\\{A+B+C=π}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{A+2C-B=2π}{B+C-A=\frac{π}{2}}}\\{A+B+C=π}\end{array}\right.$②，可解得A，B，C，利用正弦定理可得BC的值．

解答 解：∵cos（A+2C-B）+sin（B+C-A）=2，cos（A+2C-B）≤1，sin（B+C-A）≤1，
∴cos（A+2C-B）=1，sin（B+C-A）=1，
∵A，B，C∈（0，π），
∴A+2C-B∈（-π，3π），B+C-A∈（-π，2π），
∴由正弦函数，余弦函数的图象和性质可得：A+2C-B=0或2π，B+C-A=$\frac{π}{2}$，
∴结合三角形内角和定理可得：$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{A+2C-B=0}{B+C-A=\frac{π}{2}}}\\{A+B+C=π}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{A+2C-B=2π}{B+C-A=\frac{π}{2}}}\\{A+B+C=π}\end{array}\right.$②，
由①可得：A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{7π}{12}$，C=$\frac{π}{6}$，由②可得：A=$\frac{π}{4}$，B=-$\frac{π}{12}$，C=$\frac{5π}{6}$，（舍去），
∴由AB=2，利用正弦定理可得：$\frac{2}{sin\frac{π}{6}}=\frac{BC}{sin\frac{π}{4}}$，解得：BC=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，正弦函数，余弦函数的图象和性质，三角形内角和定理的综合应用，考查了转化思想和计算能力，利用三角函数的图象和性质求三角形的三个内角是解题的关键，属于中档题．