Question

15．f（x）=$\sqrt{πx}$+$\sqrt{2}$xcosx在点A（$\frac{π}{4}$，f（$\frac{π}{4}$））处的切线方程是y=（2-$\frac{π}{4}$）x+$\frac{4π+{π}^{2}}{16}$．

Answer 1

分析 求出导数，求得切线的斜率，和切点，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程．

解答 解：f（x）=$\sqrt{πx}$+$\sqrt{2}$xcosx的导数为：
f′（x）=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{π}{x}}$+$\sqrt{2}$（cosx-xsinx），
即有在点A（$\frac{π}{4}$，f（$\frac{π}{4}$））处的切线斜率为：
k=$\frac{1}{2}$×2+$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{π}{4}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2-$\frac{π}{4}$，
f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{π•\frac{π}{4}}$+$\sqrt{2}$•$\frac{π}{4}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3π}{4}$，
即有在点A（$\frac{π}{4}$，f（$\frac{π}{4}$））处的切线方程为y-$\frac{3π}{4}$=（2-$\frac{π}{4}$）（x-$\frac{π}{4}$），
即为y=（2-$\frac{π}{4}$）x+$\frac{4π+{π}^{2}}{16}$．
故答案为：y=（2-$\frac{π}{4}$）x+$\frac{4π+{π}^{2}}{16}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键．