Question

20．若3^2+2x-3${\;}^{{x}^{2}+x}$＞（$\frac{1}{4}$）^2+2x-（$\frac{1}{4}$）${\;}^{{x}^{2}+x}$，则x的取值范围是（-1，2）．

Answer 1

分析 先将不等式化为：3^2+2x-（$\frac{1}{4}$）^2+2x＞${3}^{x^2+x}$-$（\frac{1}{4}）^{x^2+x}$，再构造函数F（t）=${3}^{t}-（\frac{1}{4}）^{t}$，运用该函数的单调性解原不等式．

解答 解：∵3^2+2x-${3}^{x^2+x}$＞（$\frac{1}{4}$）^2+2x-$（\frac{1}{4}）^{x^2+x}$，
∴3^2+2x-（$\frac{1}{4}$）^2+2x＞${3}^{x^2+x}$-$（\frac{1}{4}）^{x^2+x}$，（*）
观察知，不等式两边结构相同，
故构造函数F（t）=${3}^{t}-（\frac{1}{4}）^{t}$，F（t）为R上的单调递增函数，
而（*）式可以写成，F（2+2x）＞F（x²+x），
根据F（x）单调递增得，2+2x＞x²+x，
即x²-x-2＜0，解得x∈（-1，2），
故答案为：（-1，2）．

点评 本题主要考查了函数的单调性在解不等式问题中的应用，涉及函数的构造和单调性的判断，以及指数函数的图象和性质，属于中档题．