Question

6．求函数y=4-2sinx-cos²x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 运用同角的平方关系和换元法，令t=sinx（-1≤t≤1），则y=2t²+5t-1，运用二次函数的值域求法，即可得到最值．

解答 解：函数y=4-2sinx-cos²x
=4-（1-sin²x）-2sinx
=sin²x-2sinx+3
令t=sinx（-1≤t≤1），
则y=t²-2t+3
=（t-1）²+2，
对称轴为t=1，
即有区间[-1，1]为减区间，
当t=-1，即x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z时，
y取得最大值为6，
当t=1，即x=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，
y取得最小值为2．

点评 本题考查三角函数的最值，主要考查正弦函数的值域，同时考查换元法和二次函数的值域求法，属于中档题．