Question

1．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设直线l：ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=2$\sqrt{2}$与圆C：ρ=2交于A、B两点．
（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；
（Ⅱ）设P是圆C上的动点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）联立$\left\{\begin{array}{l}{ρcosθ+\sqrt{3}sinθ=2\sqrt{2}}\\{ρ=2}\end{array}\right.$，能求出A、B两点的极坐标．
（Ⅱ）求出圆C和直线l的直角坐标方程，再求出圆心C（0，0）到直线l的距离，从而求出|AB和P到AB的最大距离，由此能求出△PAB面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l：ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=2$\sqrt{2}$与圆C：ρ=2交于A、B两点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{ρcosθ+\sqrt{3}sinθ=2\sqrt{2}}\\{ρ=2}\end{array}\right.$，得$\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin（$\frac{π}{6}$+θ）=$sin\frac{π}{4}$，∴$θ=\frac{π}{12}$或θ=$\frac{7π}{12}$，
∴A（2，$\frac{π}{12}$），B（2，$\frac{7π}{12}$）．
（Ⅱ）∵圆C：ρ=2，∴圆C的直角坐标方程：x²+y²=4，
∵直线l：ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ=2$\sqrt{2}$，∴直线l的直角坐标方程为$x+\sqrt{3}y-2\sqrt{2}=0$，
圆心C（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{1+3}}$=$\sqrt{2}$，
|AB|=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
∵P是圆C上的动点，∴P到AB的最大距离h=d+r=$\sqrt{2}+2$，
∴△PAB面积的最大值（S_△PAB）_max=$\frac{1}{2}|AB|h$=$\frac{1}{2}|\sqrt{2}+2|×\sqrt{2}$=1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查两点极坐标的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．