Question

9．已知x，y，z∈R⁺，求证：$\frac{x}{2x+y+z}$+$\frac{y}{x+2y+z}$+$\frac{z}{x+y+2z}$≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 设2x+y+z=a，x+2y+z=b，x+y+2z=c，解得x，y，z，代入原不等式左边，化解整理，再由基本不等式即可得证．

解答 证明：设2x+y+z=a，x+2y+z=b，x+y+2z=c，
可得x=$\frac{3a-b-c}{4}$，y=$\frac{3b-a-c}{4}$，z=$\frac{3c-a-b}{4}$，
即有$\frac{x}{2x+y+z}$+$\frac{y}{x+2y+z}$+$\frac{z}{x+y+2z}$=$\frac{3a-b-c}{4a}$+$\frac{3b-a-c}{4b}$+$\frac{3c-a-b}{4c}$
=$\frac{9}{4}$-$\frac{1}{4}$[（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+（$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$）+（$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$）]≤$\frac{9}{4}$-$\frac{1}{4}$（2+2+2）=$\frac{3}{4}$．
当且仅当a=b=c取得等号．
则$\frac{x}{2x+y+z}$+$\frac{y}{x+2y+z}$+$\frac{z}{x+y+2z}$≤$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用换元法，以及基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，考查推理能力，属于中档题．