Question

4．已知抛物线y=-x²+ax+$\frac{1}{2}$与直线y=2x．
（1）求证：抛物线与直线相交；
（2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，当a∈（1，4）时，求线段AB长度的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=-x²+ax+$\frac{1}{2}$-2x，只需证明f（x）有解即可；
（2）设出交点坐标，利用根与系数得关系表示出x₁+y₁和x₁•x₂，带入弦长公式得到关于a得函数．求此函数的最值．

解答 解：（1）令f（x）=-x²+ax+$\frac{1}{2}$-2x=-x²+（a-2）x+$\frac{1}{2}$，
则△=（a-2）²+2≥2．∴f（x）有两个不相等的实数根．
∴抛物线y=-x²+ax+$\frac{1}{2}$与直线y=2x相交．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+y₁=a-2，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$．
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$$\sqrt{{（a-2）}^{2}+2}$．
∵a∈（1，4），∴2≤（a-2）²+2＜6．
∴$\sqrt{10}$≤|AB|＜$\sqrt{30}$．

点评 本题考查了二次函数零点的存在性判断，弦长公式应用，设而不求是常用方法之一．