Question

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{{a}_{1}（{3}^{n}-1）}{2}$（对n≥1恒成立）且a₄=54，则a_n=$\frac{2}{3}•{3}^{n}$．

Answer 1

分析 先求出a₄=S₄-S₃=27a1=54，从而得到S_n=$\frac{{a}_{1}（{3}^{n}-1）}{2}$=3ⁿ-1，由此能求出a_n．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{{a}_{1}（{3}^{n}-1）}{2}$（对n≥1恒成立），且a₄=54，
∴a₄=S₄-S₃=$\frac{{a}_{1}（81-1）}{2}-\frac{{a}_{1}（27-1）}{2}$=27a1，
∵a₄=54，∴a₁=2，
∴S_n=$\frac{{a}_{1}（{3}^{n}-1）}{2}$=3ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（3ⁿ-1）-（3^n-1-1）=$\frac{2}{3}•{3}^{n}$．
n=1时，上式成立，∴a_n=$\frac{2}{3}•{3}^{n}$．
故答案为：$\frac{2}{3}•{3}^{n}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意公式a_n=S_n-S_n-1的合理运用．
S_n=$\frac{{a}_{1}（3n-1）}{2}$更正为：S_n=$\frac{{a}_{1}（{3}^{n}-1）}{2}$．