Question

3．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，AD=2AB=2AA′=2．
（1）求证：A′B⊥平面ADC′；
（2）求二面角D′-AC-D的正切值．

Answer 1

分析 （1）连接AB′，证明A′B⊥C′D，A′B⊥AD，即可证明A′B⊥平面ADC′；
（2）过D作DE⊥AC，垂足为E，连接D′E，则∠D′ED为二面角D′-AC-D的平面角，求出DE，即可求二面角D′-AC-D的正切值．

解答 （1）证明：连接AB′，
∵长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=AA′，
∴A′B⊥AB′，
∴A′B⊥C′D，
∵A′B⊥AD，AD∩C′D=D，
∴A′B⊥平面ADC′；
（2）解：过D作DE⊥AC，垂足为E，连接D′E，则∠D′ED为二面角D′-AC-D的平面角．
△ACD中，由等面积可得DE=$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵DD′=1，
∴二面角D′-AC-D的正切值=$\frac{1}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角D′-AC-D的正切值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．