Question

18．设f（x）=$\frac{1}{3}$x³+3x²+ax，若g（x）=$\frac{1}{{4}^{x}}$，对任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，1]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f′（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围为（-∞，-$\frac{13}{2}$]．

Answer 1

分析 先将问题等价为：f'（x）_max≤g（x）_max，再分别对二次函数和指数函数在相应区间上求最值．

解答 解：根据题意，要使得f'（x₁）≤g（x₂）成立，
只需满足：f'（x）_max≤g（x）_max，
而f'（x）=x²+6x+a=（x+3）²+a-9，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
所以，f'（x）_max=f（1）=a+7，
g（x）=$\frac{1}{4^x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，函数单调递减，
所以，g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
因此，a+7≤$\frac{1}{2}$，解得a≤-$\frac{13}{2}$，
所以，实数a的取值范围为：（-∞，-$\frac{13}{2}$]，
故答案为：（-∞，-$\frac{13}{2}$]．

点评 本题主要考查了不等式有解和恒成立的综合问题，涉及二次函数和指数函数的单调性和值域，以及导数的运算，属于中档题．