Question

13．已知椭圆C₁；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1有相同的离心率，经过椭圆C₂的左顶点作直线l，与椭圆C₂相交于P、Q两点，与椭圆C₁相交于A、B两点．
（1）若直线y=-x经过线段PQ的中点M，求直线l的方程：
（2）若存在直线l，使得$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（-2，0），Q（x，y），线段PQ的中点M为$（\frac{x-2}{2}，\frac{y}{2}）$，可得$\frac{x-2}{2}+\frac{y}{2}$=0，与椭圆C₂联立解出，即可得出直线l的方程．
（2）椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．设2c是椭圆C₁；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距，则$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，椭圆的方程化为：x²+4y²=4b²．设直线l的方程为：y=k（x+2），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．分别与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用弦长公式即可得出．

解答 解：（1）设P（-2，0），Q（x，y），线段PQ的中点M为$（\frac{x-2}{2}，\frac{y}{2}）$，
∴$\frac{x-2}{2}+\frac{y}{2}$=0，化为x+y=2．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
∴直线l的方程为：y=0，或y-0=$\frac{\frac{4}{5}-0}{\frac{6}{5}-（-2）}$（x+2），化为x-4y+2=0．
（2）椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
设2c是椭圆C₁；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距，则$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a²=b²+c²，可得a=2b，c=$\sqrt{3}$b，椭圆的方程化为：x²+4y²=4b²．
设直线l的方程为：y=k（x+2），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
∴x₃+x₄=$\frac{-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
|PQ|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}]}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$．

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4{b}^{2}}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4b²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{k}^{2}-4{b}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（{b}^{2}+4{b}^{2}{k}^{2}-4{k}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$|\overrightarrow{AB}|$=3$|\overrightarrow{PQ}|$，
∴3×$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（{b}^{2}+4{b}^{2}{k}^{2}-4{k}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$．
化为：b²=1+$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$∈（1，9]，
∴b∈（1，3]．
∴b的取值范围是（1，3]．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、向量的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．