Question

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，证明：
（1）$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{{b}^{3}}$+$\frac{1}{{c}^{3}}$+abc≥2$\sqrt{3}$；
（2）$\frac{π}{A}$+$\frac{π}{B}$+$\frac{π}{C}$≥9．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c＞0，分别运用三元均值不等式和二元均值不等式，即可得证；
（2）由三角形的内角和定理可得A+B+C=π，再由三元均值不等式即可得证．

解答 证明：（1）由a，b，c＞0，可得
$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{{b}^{3}}$+$\frac{1}{{c}^{3}}$+abc≥3$\root{3}{\frac{1}{（abc）^{3}}}$+abc
=$\frac{3}{abc}$+abc≥2$\sqrt{\frac{3}{abc}•abc}$=2$\sqrt{3}$
（当且仅当a=b=c$\root{6}{3}$时，等号成立）；
（2）$\frac{π}{A}$+$\frac{π}{B}$+$\frac{π}{C}$=π（$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$）
=（A+B+C）（$\frac{1}{A}$+$\frac{1}{B}$+$\frac{1}{C}$）≥3$\root{3}{ABC}$•3$\root{3}{\frac{1}{ABC}}$=9
（当且仅当A=B=C=$\frac{π}{3}$时，等号成立）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式以及三角形的内角和定理，考查推理能力，属于中档题．