Question

3．已知等差数列{a_n}的公差和等比数列{b_n}的公比都是d（d≠0），且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀
（1）求a₁和d的值；
（2）b₁₆是不是数列{a_n}中的项？如果是，它是第几项？如果不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列和等比数列的通项公式求解．
（2）由题意分别求出b₁₆和a_n，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差和等比数列{b_n}的公比都是d（d≠0），且a₁=b₁，a₄=b₄，a₁₀=b₁₀，
∴a₄=a₁+3d，b₄=b₁d³，∴a₁+3d=a₁d³，∴a₁=$\frac{3d}{{d}^{3}-1}$，
a₁₀=a₁+9d，b₁₀=b₁d⁹，a₁+9d=a₁d⁹，
a₁=$\frac{9d}{{d}^{9}-1}$，$\frac{3d}{{d}^{3}-1}$=$\frac{9d}{{d}^{9}-1}$，
d⁹-1=3d³-3，d⁹-3d³+2=0，（d⁹-1）-3（d³-1）=0，
（d³-1）（d⁶+d³+1）-3（d³-1）=0，
∵d≠1，∴d³-1≠0，∴（d⁶+d³+1）-3=0，d⁶+d³-2=0，
（d³+2）（d³-1）=0，d³-1≠0，d³=-2，
∴d=-$\root{3}{2}$，a₁=$\frac{3d}{{d}^{3}-1}$=$\root{3}{2}$，
（2）b₁₆=${b}_{1}{q}^{15}$=a₁（q³）⁵=-32•$\root{3}{2}$，
a_n=a₁+d（n-1）=2•$\root{3}{2}$=-n•$\root{3}{2}$，
若b_n=-32$•\root{3}{2}$=a_n=（2-n）$•\root{3}{2}$，
解得n=34
所以b₁₆是{a_n}的第34项．

点评 本题考查数列的首项和公差、公比的求法，考查等比数列的第16项是否是等差数列中的项的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．