Question

7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，c-b=6，c+b-a=2，且O为此三角形的内心，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{CB}$=（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 设AD=x，BD=y，CE=z，则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=c}\\{y+z=a}\\{z+x=b}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{b+c-a}{2}$．由$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，可得$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$|\overrightarrow{AD}|c$-$|\overrightarrow{AE}|$b=$|\overrightarrow{AD}|$（c-b）即可得出．

解答 解：设AD=x，BD=y，CE=z，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=c}\\{y+z=a}\\{z+x=b}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{b+c-a}{2}$=1．
如图所示，
∵$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AO}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$　　
=$|\overrightarrow{AD}|c$-$|\overrightarrow{AE}|$b
=$|\overrightarrow{AD}|$（c-b）
=1×6
=6．
故选：C．

点评 本题考查了向量的三角形法则、数量积运算性质、三角形内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．