Question

3．已知a∈R，函数f（x）=x²-2ax+5
（1）若不等式f（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）结合根与系数得关系对△进行分情况讨论，列出不都是解出；
（2）判断出f（x）的单调性，利用单调性列方程解出．

解答 解：（1）①若△=4a²-20＜0，即-$\sqrt{5}$＜a$＜\sqrt{5}$时，f（x）＞0恒成立，符合题意，
②若△=4a²-20=0，即a=$±\sqrt{5}$时，f（x）=0的解为x=a，
∵不等式f（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，∴a=-$\sqrt{5}$．
②如△=4a²-20＞0，即a$＜-\sqrt{5}$或a$＞\sqrt{5}$时，设f（x）=0的两根为x₁，x₂，则x₁x₂=5＞0，
∵f（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴f（x）=0有两个负根，∴x₁+x₂=2a＜0，∴a＜$-\sqrt{5}$．
综上，实数a的取值范围是（-∞，$\sqrt{5}$）．
（2）∵f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a，
∴f（x）在[1，a]上单调递减，∴f（1）=a，即6-2a=a，解得a=2．

点评 本题考查了二次不等式与二次函数的关系，二次函数的单调性及应用，是中档题．