Question

5．已知向量$\overrightarrow a=（{1，cos2x}），\overrightarrow b=（{sin2x，-\sqrt{3}}）$，函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（Ⅰ）若$f（{\frac{θ}{2}+\frac{2π}{3}}）=\frac{6}{5}$，求cos2θ的值；
（Ⅱ）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）化简f（x），根据$f（{\frac{θ}{2}+\frac{2π}{3}}）=\frac{6}{5}$求出sinθ，代入二倍角公式；
（II）根据x的范围求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，结合正弦函数的图象与性质得出．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\vec a•\vec b=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∴f（$\frac{θ}{2}+\frac{2π}{3}$）=2sin（θ+π）=-2sinθ=$\frac{6}{5}$，∴sinθ=-$\frac{3}{5}$．
∴cos2θ=1-2sin²θ=1-$\frac{18}{25}$=$\frac{7}{25}$．
（Ⅱ）由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，则$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最小值-$\sqrt{3}$，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值2．
∴f（x）的值域为$[-\sqrt{3}，2]$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换和求值，利用三角函数公式对f（x）化简是关键．