Question

19．己知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）△ABC中，若AB=$\sqrt{7}$，f（C）=1，sinB=3sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）由条件利用f（C）=1求得sinC的值，可得C=$\frac{π}{3}$，利用正弦定理求得b=3a、再利用余弦定理求得a的值，可得b的值，从而求得△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ab•sinC 的值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-2•$\frac{1+cos2x}{2}$=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）△ABC中，若AB=c=$\sqrt{7}$，∵f（C）=2sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=1，∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，∴C=$\frac{π}{3}$．
又∵sinB=3sinA，∴b=3a，由余弦定理可得 7=a²+（3a）²-2a•3a•cos$\frac{π}{3}$=7a²，
求得a=1，∴b=3，∴△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}$•1•3•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．