Question

14．若y═ax+b为函数f（x）=$\frac{xlnx-1}{x}$图象的一条切线，则a+b的最小值为（　　）

• A． -4
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，设出切点（m，n），求得切线的斜率，用m表示a，b，可令g（m）=lnm-1-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，求出导数，求得单调区间，可得最小值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{xlnx-1}{x}$=lnx-$\frac{1}{x}$，
导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设切点为（m，n），则a=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，
n=lnm-$\frac{1}{m}$=am+b，
可得b=lnm-1-$\frac{2}{m}$，
则a+b=lnm-1-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，
g（m）=lnm-1-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$的导数为$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{2}{{m}^{3}}$=$\frac{（m+2）（m-1）}{{m}^{3}}$，
由m＞0，可得m＞1时，g′（m）＞0，g（m）递增；
0＜m＜1时，g′（m）＜0，g（m）递减．
即有m=1处取得最小值，且为ln1-1-1+1=-1．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、最值，考查运算能力，属于中档题．