Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{4}^{lo{g}_{2}（8-x）}-4a}{4}$．
（Ⅰ）若f（4）=6，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，b]（b＞0）时，函数f（x）的值域是[0，3b]，求a，b的值；
（Ⅲ）设函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），（x＜4）}\\{（3a-1）x+12a，（x≥4）}\end{array}\right.$，若g（x）在（-∞，+∞）上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据条件f（4）=6代入函数式，求得实数a的值；
（2）运用函数的单调性确定函数的值域，已经解出a，b的值；
（3）根据分段函数的图象和性质，列出不等式求解．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{4}^{lo{g}_{2}（8-x）}-4a}{4}$=$\frac{{2}^{lo{g}_{2}（8-x）^2}-4a}{4}$
=$\frac{1}{4}$[（8-x）²-4a]=$\frac{1}{4}$（x-8）²-a，其中，x＜8，
由f（4）=6得，$\frac{1}{4}$•4²-a=6，解得，a=-2，
即a的值为：-2；
（2）由（1）可知，x＜8，因此b＜8，
所以，f（x）在[0，b]上单调递减，因此
f（x）_max=f（0）=16-a=3b，------------①
f（x）_min=f（b）=$\frac{1}{4}$（b-8）²-a=0，--------②
由①②解得，a=4，b=4，此时，f（x）=$\frac{1}{4}$（x-8）²-4，
当x∈[0，4]时，f（x）∈[0，12]，符合题意，
故实数a，b的值分别为：4和4；
（3）g（x）在R上单调递减，
当x≥4时，g（x）=（3a-1）x+12a，单调递减，
因此，3a-1＜0，解得a＜$\frac{1}{3}$，
当x＜4时，g（x）=f（x）=$\frac{1}{4}$（x-8）²-a，单调递减，
且当x→4时，（3a-1）×4+12a≤4-a，解得，a≤$\frac{8}{25}$，
综合以上讨论得，实数a的取值范围为：（-∞，$\frac{8}{25}$]．

点评 本题主要考查了函数与方程的综合应用，涉及函数解析式和函数值域的确定，以及函数单调性的应用，属于难题．