Question

7．已知A（-2，0），B（2，0），且△ABC的周长为12，求点C的轨迹方程．

Answer 1

分析 由△ABC的周长及AB的长，得|CA|+|CB|，由圆锥曲线的定义可判断轨迹的形状，即可得其方程．

解答 解：由题意知，|CA|+|CB|=12-|AB|=8＞|AB|，
故动点C在椭圆上，
当C与A，B共线时，A，B，C三点不能围成三角形，
故轨迹E不含x轴上的两点，
由于定点A，B在x轴上，
可设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则2a=8，焦距2c=4，从而b²=a²-c²=12，
即得C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1（y≠0）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆的定义，以及方程的等价性，属于基础题和易错题．