Question

12．己知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，O为坐标原点，若∠BFO=60°，S_△ABF=$\sqrt{3}$，则该椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

Answer 1

分析 由题意可得：S_△ABF=$\frac{1}{2}（a-c）b$=$\sqrt{3}$，b=asin60°，a²=b²+c²．联立解出即可得出．

解答 解：由题意可得：S_△ABF=$\frac{1}{2}（a-c）b$=$\sqrt{3}$，b=asin60°，a²=b²+c²．
联立解得：a²=8，c=$\sqrt{2}$，b²=6．
∴该椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的面积计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．