Question

3．已知数列{a_n}的首项a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*）
（1）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-1，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{n}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）对a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*），两边取倒数可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2{a}_{n}}$，变形为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，即${b}_{n+1}=\frac{1}{2}{b}_{n}$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”及其等比数列数列求和公式即可得出．

解答 解：（1）由a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*），可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，∴${b}_{n+1}=\frac{1}{2}{b}_{n}$，
又${b}_{1}=\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{1}{2}$≠0，∴b_n≠0，∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（常数），
∴数列{b_n}是以$\frac{1}{2}$为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，∴b_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）由（1）知：$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$+1，
∴$\frac{n}{{a}_{n}}$=n+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=1+2+…+n）+[1×$\frac{1}{2}$+2×（$\frac{1}{2}$）²+…+n×（$\frac{1}{2}$）ⁿ]，
令T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×（$\frac{1}{2}$）²+…+n×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，得：T_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$（“错位相减法”及其数列求和即可得出）
∴S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n+4}{2}$-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．