Question

11．（1）已知在△ABC中，sinA+cosA=$\frac{1}{5}$，求tanA的值．
（2）已知π＜a＜2π，cos（α-7π）=-$\frac{3}{5}$，求sin（3π+α）•tan（α-$\frac{7}{2}$π）的值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由sinA+cosA=$\frac{1}{5}$，平方可由此求得sinA•cosA 的值，由sinA•cosA=-$\frac{12}{25}$，以及sin²A+cos²A=1 可得cosA和sinA 的值，从而求得tanA的值．
（2）由诱导公式化简可求cosα的值，利用诱导公式化简所求后即可得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）∵sinA+cosA=$\frac{1}{5}$（1），
∴两边平方得1+2sinAcosA=$\frac{1}{25}$，∴sinAcosA=-$\frac{12}{25}$＜0，
又0＜A＜π，可知：sinA＞0，cosA＜0，
∴sinA-cosA＞0，
∵${（{sinA-cosA}）^2}=1-2sinAcosA=1+\frac{24}{25}=\frac{49}{25}$，
∴$sinA-cosA=\frac{7}{5}．（2）$
由（1），（2）可得$sinA=\frac{4}{5}，cosA=-\frac{3}{5}$，
∴$tanA=\frac{sinA}{cosA}=\frac{{\frac{4}{5}}}{{-\frac{3}{5}}}=-\frac{4}{3}$．-----（5分）
（2）∵$cos（{α-7π}）=cos（{7π-α}）=-cosα=-\frac{3}{5}$，
∴$cosα=\frac{3}{5}$．
$\begin{array}{l}∴sin（3π+α）•tan（{α-\frac{7}{2}π}）=sinα•tan（{\frac{π}{2}-α}）\\=sinα•\frac{{sin（{\frac{π}{2}-α}）}}{{cos（{\frac{π}{2}-α}）}}=sinα•\frac{cosα}{sinα}=cosα=\frac{3}{5}.\end{array}$--------------（10分）

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．