Question

1．已知Rt△ABC，斜边BC?α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，则二面角A-BC-O的大小为60°．

Answer 1

分析 过O作OD⊥BC，垂足为D，连结AD，设OC=a，说明∠ADO是二面角A-BC-O的平面角．设AO=a，在Rt△AOD中，求出二面角A-BC-O的大小．

解答 解：如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连结AD，设OC=a，
∵AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC．又∵AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD，而AD?平面AOD，
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角．
由AO⊥α，OB?α，OC?α可知AO⊥OB，AO⊥OC，又∠ABO=30°，∠ACO=45°，∴设AO=a，则AC=$\sqrt{2}$a，AB=2a，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴BC=$\sqrt{{AC}^{2}+{AB}^{2}}$=$\sqrt{6}a$，
∴AD=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{2a•\sqrt{2}a}{\sqrt{6}a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$．
在Rt△AOD中，sin∠ADO=$\frac{AO}{AD}$=$\frac{a}{\frac{2\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADO=60°，二面角A-BC-O的大小为：60°．
故答案为：60°．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，作出二面角的平面角是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．