Question

设函数f（x）=x³-ax，x∈R．过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）-kf（x-1）≥0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=x³-ax，x∈R，得f′（x）=3x²-a≥-a，由过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=-a和过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2，能求出a．
（2）由（1）知f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1，令f′（x）=3x²-1=0，得x=．列表讨论能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（3）由f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x³-x，得k≤==1+，由此能求出k有范围．
解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax，x∈R，
∴f′（x）=3x²-a≥-a，
∴过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=-a，
∵过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2，
∴-a=-1，故a=1．
（2）∵a=1，∴f（x）=x³-x，f′（x）=3x²-1，
令f′（x）=3x²-1=0，得x=．
列表讨论：

x	（-∞，-）	-	（-，）		（，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

由表讨论知：函数f（x）的单调增区间是 （-∞，-）、（，+∞）；单调减区间是（-，）．
极大值f（-）=-+=，
极小值f（）==-．
（3）∵f（x）-kf（x-1）≥0，f（x）=x³-x，
∴k≤=
=
=
=1+，
∵x∈（1，+∞），
当1＜x＜2时，-2＜1+＜1
当x=-2时，1+＜+∞，
当x＞2时，1+＞1
∴k≤-2．
点评：本题考查实数值的求法，考查单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意列表讨论法和分离变量法的灵活运用．