Question

1．（Ⅰ）已知x＞2，求函数f（x）=$\frac{1}{x-2}$+x的值域；
（Ⅱ）关于x的不等式ax²+ax+a-1＜0的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x＞2得x-2＞0，利用基本不等式求出函数$f（x）=\frac{1}{x-2}+x$的最小值即可；
（Ⅱ）讨论a=0和a≠0时，不等式ax²+ax+a-1＜0的解集为R时，求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由x＞2得x-2＞0，
∴$f（x）=\frac{1}{x-2}+x=\frac{1}{x-2}+（{x-2}）+2≥2\sqrt{\frac{1}{{（{x-2}）}}（{x-2}）}+2=4$，…（3分）
当且仅当$\frac{1}{x-2}=x-2$，即x=3时取等号，
∴函数$f（x）=\frac{1}{x-2}+x$的值域为[4，+∞）；  …（5分）
（Ⅱ）①当a=0时，原不等式化为-1＜0，满足条件； …（6分）
②当a≠0时，要使不等式ax²+ax+a-1＜0的解集为R，
需满足$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△={a^2}-4a（{a-1}）＜0\end{array}\right.$，
解得a＜0；         …（9分）
综合①、②可得，实数a的取值范围为a≤0．…（10分）

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．