Question

10．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0）．数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1（n∈N*）．
（1）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求a的值及{a_n}的通项公式；
（2）当{b_n}是公比为a-1的等比数列时，{a_n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出b₃=a₃a₄=（a₁+2d）（a₁+3d）=（1+2d）（1+3d）=12，从而d=1或d=-$\frac{11}{6}$，再由a=a₁+d=1+d＞0，得d=1，由此能求出a的值及{a_n}的通项公式．
（2）推导出$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=a-1，从而a₃=a-1，假设{a_n}为等比数列，由a₁=1，a₂=a得a₃=a²，从而a²=a-1，此方程无解，从而得到数列{a_n}一定不为等比数列．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差数列a₁=1，a₂=a，b_n=a_na _n+1，b₃=12
∴b₃=a₃a₄=（a₁+2d）（a₁+3d）=（1+2d）（1+3d）=12
即d=1或d=-$\frac{11}{6}$，
又∵a=a₁+d=1+d＞0，得d＞-1
∴d=1，a=2，
∴a_n=n．
（2）{a_n}不能为等比数列，理由如下：
∵b_n=a_na _n+1，{b_n}是公比为a-1的等比数列
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=a-1，
∴a₃=a-1
假设{a_n}为等比数列，由a₁=1，a₂=a得a₃=a²，
∴a²=a-1，∴此方程无解，
∴数列{a_n}一定不为等比数列．

点评 本题考查实数值的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列是否为等比数列的判断与证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．