Question

定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4），且x∈（0，2]时，f（x）=

3x

3x+1

．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判断f（x）在[0，2]上的单调性，并给予证明；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件可得函数的周期为4，设x∈[-2，0），则-x∈（0，2]，根据f（-x）=

3-x

3-x+1

=

1

1+3x

=-f（x），求得f（x）=

-1

1+3x

．再根据奇函数的定义可得f（0）=0，从而求得可得，f（x）在[-2，2]上的解析式．
（2）根据f（0）=0，当x∈（0，2]时，由于f（x）=1-

1

3x+1

＞0，且f（x）随着x的增大而增大，可得f（x）在[0，2]上是增函数．再利用函数的单调性的定义进行证明．
（3）由题意可得，本题即求函数λ=f（x）在[-2，2]上的值域，再利用函数的单调性求得函数f（x）在[-2，2]上的值域．

解答： 解：（1）∵奇函数f（x）满足f（x）=f（x+4），故函数的周期为4．
由于x∈（0，2]时，f（x）=

3x

3x+1

，设x∈[-2，0），则-x∈（0，2]，故 f（-x）=

3-x

3-x+1

=

1

1+3x

=-f（x），
∴f（x）=

-1

1+3x

．
再根据奇函数的定义可得f（0）=0，可得，f（x）在[-2，2]上的解析式为f（x）=

3x 3x+1 ，x∈(0，2] 0，x=0 -1 3x+1 ，x∈[-2，0)

．
（2）在[0，2]上，f（0）=0，当x∈（0，2]时，由于f（x）=

3x

3x+1

=1-

1

3x+1

＞0，
且f（x）随着x的增大而增大，故f（x）在[0，2]上是增函数．
证明：设0≤x₁＜x₂≤2，则由f（x₁）-f（x₂）=[1-

1

3x1

]-[1-

1

3x2

]=

3x1-3x2

3x1•3x2

＜0，可得f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[0，2]上是增函数．
（3）由题意可得，本题即求函数λ=f（x）在[-2，2]上的值域．
利用函数的单调性求得函数f（x）在[-2，2]上的值域为 {λ|y=0，或

1

2

＜λ≤

9

10

，或-

9

10

≤λ＜-

1

2

}，
故λ的范围为：{λ|y=0，或

1

2

＜λ≤

9

10

，或-

9

10

≤λ＜-

1

2

}．

点评：本题主要考查函数的周期性、单调性和奇偶性的应用，求函数的解析式和函数的值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．