Question

20．已知命题p：方程x²+y²-ax+y+1=0表示圆；命题q：方程2ax+（1-a）y+1=0表示斜率大于1的直线，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p∨q为真命题，p∧q，命题p，q一真一假，进而可得满足条件的a的取值范围．

解答 解：若x²+y²-ax+y+1=0表示圆，
则a²+1-4＞0，
解得：a∈（-∞，$-\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞），
故命题p：a∈（-∞，$-\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞），
若方程2ax+（1-a）y+1=0表示斜率大于1的直线，
则$\frac{2a}{a-1}$＞1解得：a∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
故命题q：a∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p，q一真一假；
当p真q假时，a∈（-∞，$-\sqrt{3}$）∪（$\sqrt{3}$，+∞）且a∈[-1，1]，不存在满足条件的a值；
当p假q真时，a∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]且a∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
故a∈[-$\sqrt{3}$，-1）∪（1，$\sqrt{3}$]

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，圆的一般方程，直线斜率等知识点，难度中档．