Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+kx，k∈R，函数f′（x）为f（x）的导函数．
（1）数列{a_n}满足a_n=$\frac{1}{f'（n）-k}$，求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅；
（2）数列{b_n}满足b_n+1=f′（b_n），
①当k=-$\frac{1}{4}$且b₁＞1时，证明：数列{lg（b_n+$\frac{1}{2}}$）}为等比数列；
②当k=0，b₁=b＞0时，证明：$\sum_{i=1}^{n}$${\frac{b_i}{{{b_{i+1}}}}}$＜$\frac{1}{b}$．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，可得a_n=$\frac{1}{f'（n）-k}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用裂项相消求和即可得到所求值；
（2）求得当k=-$\frac{1}{4}$且b₁＞1时，b_n+1=b_n²+b_n-$\frac{1}{4}$，两边同加$\frac{1}{2}$，配方后，取常用对数，由等比数列的定义，即可得证；
②求得b_n+1=b_n²+b_n，即有$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n}+1}$，即有$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}+1}$，运用裂项相消求和，可得，$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{1}+1}$+$\frac{1}{{b}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}+1}$，再将原不等式左边化简，由不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+kx的导数为f′（x）=x²+x+k，
a_n=$\frac{1}{f'（n）-k}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
可得a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$=1-$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$；
（2）证明：①当k=-$\frac{1}{4}$且b₁＞1时，b_n+1=f′（b_n）=b_n²+b_n-$\frac{1}{4}$，
即有b_n+1+$\frac{1}{2}$=b_n²+b_n+$\frac{1}{4}$=（b_n+$\frac{1}{2}$）²，
两边取常用对数，可得lg（b_n+1+$\frac{1}{2}$）=lg（b_n+$\frac{1}{2}$）²=2lg（b_n+$\frac{1}{2}$），
则数列{lg（b_n+$\frac{1}{2}}$）}为首项为lg（b₁+$\frac{1}{2}$），公比为2的等比数列；
②当k=0，b₁=b＞0时，b_n+1=b_n²+b_n，
即有$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n}+1}$，
即有$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}+1}$，
可得$\frac{1}{{b}_{1}}$-$\frac{1}{{b}_{2}}$=$\frac{1}{{b}_{1}+1}$，$\frac{1}{{b}_{2}}$-$\frac{1}{{b}_{3}}$=$\frac{1}{{b}_{2}+1}$，
…，$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}+1}$，
相加可得，$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{1}+1}$+$\frac{1}{{b}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}+1}$，
则$\sum_{i=1}^{n}$${\frac{b_i}{{{b_{i+1}}}}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$+$\frac{{b}_{2}}{{b}_{3}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$
=$\frac{1}{{b}_{1}+1}$+$\frac{1}{{b}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}+1}$=$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{{b}_{n+1}}$＜$\frac{1}{b}$，
则原不等式成立．

点评 本题考查等比数列的定义的运用，构造数列的思想，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及转化思想的运用，考查运算和推理能力，属于中档题．