Question

6．已知函数f（tanα）=sin2α+cos2α，则函数f（x）的值域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由三角恒等变换化简f（x），然后转化为关于x的方程．

解答 解：∵f（tanα）=sin2α+cos2α=2sinαcosα+cos²α-sin²α
=$\frac{{2sinαcosα+{{cos}^2}α-{{sin}^2}α}}{{{{cos}^2}α+{{sin}^2}α}}=\frac{{2tanα+1-{{tan}^2}α}}{{1+{{tan}^2}α}}$，
∴$f（x）=\frac{{2x+1-{x^2}}}{{1+{x^2}}}$，
∴（y+1）x²-2x+y-1=0，当$y+1=0，x=-\frac{1}{2}$，即y=-1成立；
当y+1≠0时，△=（-2）²-4（y+1）（y-1）≥0，可得$-\sqrt{2}≤y≤\sqrt{2}$，且y+1≠0，
综上所述，可得函数的值域为$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．

点评 本题考查三角恒等变换以及换元，转化思想．