Question

15．正项等比数列{a_n}满足：2a₄+a₃=2a₂+a₁+8，则2a₆+a₅的最小值是（　　）

• A． 64
• B． 32
• C． 16
• D． 8

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比q＞0，由2a₄+a₃=2a₂+a₁+8，可得（2a₂+a₁）（q²-1）=8．（q≠1）．则2a₆+a₅=q⁴（2a₂+a₁）=8（q²-1）+$\frac{8}{{q}^{2}-1}$+16=f（q），通过对q分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比q＞0，
∵2a₄+a₃=2a₂+a₁+8，
∴（2a₂+a₁）（q²-1）=8．（q≠1）．
则2a₆+a₅=q⁴（2a₂+a₁）=$\frac{8{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=8（q²+1）+$\frac{8}{{q}^{2}-1}$=8（q²-1）+$\frac{8}{{q}^{2}-1}$+16=f（q），
q＞1时，f（q）≥$8×2\sqrt{（{q}^{2}-1）×\frac{1}{{q}^{2}-1}}$+16=32，当且仅当$q=\sqrt{2}$时取等号．
0＜q＜1时，f（q）=-$8[（1-{q}^{2}）+\frac{1}{1-{q}^{2}}]$+16≤0，舍去．
综上可得：2a₆+a₅的最小值是32．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．