Question

10．已知：点B（-2，0），C（2，0），动点M满足k_MB•k_MC=1．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点M分别作直线y=x与y=-x的平行线交两直线于P、Q，求证：平行四边形OPMQ的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），求出MB，MC的斜率，根据条件列方程化简即可开；
（2）设M（x，y），分别求出直线y=x和y=-x的平行线方程，联立方程组解出P，Q的交点坐标，得出|OP|，|OQ|，代入面积公式整理即可得出结论．

解答 解：（1）设M（x，y），则k_MB=$\frac{y}{x+2}$，k_MC=$\frac{y}{x-2}$．
∵k_MB•k_MC=1，∴$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-4}=1$，即$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
∴动点M的轨迹C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）设M（a，b），则a²-b²=4．
过M与y=x平行的直线方程为y=x-a+b，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-a+b}\\{y=-x}\end{array}\right.$，解得P（$\frac{a-b}{2}$，$\frac{b-a}{2}$），
同理可得Q（$\frac{a+b}{2}$，$\frac{a+b}{2}$）．
∴|OP|=$\frac{\sqrt{2}|a-b|}{2}$，|OQ|=$\frac{\sqrt{2}|a+b|}{2}$．
∴S_OPMQ=|OP|•|OQ|=$\frac{|{a}^{2}-{b}^{2}|}{2}$=2．
∴平行四边形OPMQ的面积为定值2．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线的斜率与交点坐标，属于中档题．