Question

4．已知定义在正实数集上的函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）用a表示b；
（2）求证：当x＞0时，f（x）≥g（x）．

Answer 1

分析 （1）设出两曲线的公共点坐标，分别求出f（x）和g（x）的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用a表示出b的式子；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），求出F（x）的导函数，根据导函数的正负得到F（x）的单调区间，由x大于0和函数的增减性得到F（x）的最小值为0，即f（x）-g（x）大于等于0，证得当x＞0时，f（x）≥g（x）．

解答 解：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
∵f′（x）=x+2a，g′（x）=$\frac{3{a}^{2}}{x}$，
由题意得：f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）．
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3{a}^{2}ln{x}_{0}+b}\\{{x}_{0}+2a=\frac{3{a}^{2}}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，由${x}_{0}+2a=\frac{3{a}^{2}}{{x}_{0}}$，得：x₀=a，或x₀=-3a（舍去）．
即有b=$\frac{1}{2}{a}^{2}+2{a}^{2}-3{a}^{2}lna=\frac{5}{2}{a}^{2}-3{a}^{2}lna$；
（2）设F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+2ax-3{a}^{2}lnx-b$（x＞0），
则F′（x）=x+2a-$\frac{3{a}^{2}}{x}$=$\frac{（x-a）（x+3a）}{x}$（x＞0）．
故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，
于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=f（a）-g（a）=$\frac{1}{2}$a²+2a²-3a²lna+$\frac{2}{5}$a²-3a²lna=0，
故当x＞0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）．

点评 本题考查利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调区间，并根据函数的增减性得到函数的极值，是中档题．