Question

12．如图，RT△ABC中，AB=AC，BC=4，O为BC的中点，以O为圆心，1为半径的半圆与BC交于点D，P为半圆上任意一点，则$\overrightarrow{BP}$•$\overrightarrow{AD}$的最小值为（　　）

• A． 2+$\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 2
• D． 2-$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，利用向量数量积的定义结合三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：以O为坐标原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，
所以B（-2，0），D（1，0），A（0，2），
设P（x，y）（y≥0）且x²+y²=1，
所以$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{AD}=（x+2，y）•（1，-2）=x+2-2y$，
令x=cosα，y=sinα，α∈[0，π]，
则$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{AD}=cosα-2sinα+2=\sqrt{5}cos（α+ϕ）+2$，其中tanϕ=2．
所以当α=π-ϕ时有最小值$2-\sqrt{5}$．
故选：D

点评 本题主要考查向量数量积的应用，建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．