Question

5．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），若cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，则tan（2α+$\frac{π}{12}$）=$\frac{17}{31}$．

Answer 1

分析 由同角三角函数关系得sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，由二倍角公式得tan[2（α+$\frac{π}{6}$）]=$\frac{24}{7}$，由两角差的正切公式得结果．

解答 解：∵cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∵cos²（α+$\frac{π}{6}$）+sin²（α+$\frac{π}{6}$）=1，α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，
∴tan（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$，
∴tan[2（α+$\frac{π}{6}$）]=$\frac{2tan（α+\frac{π}{6}）}{1-ta{n}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{24}{7}$，
∴tan（2α+$\frac{π}{12}$）=tan（2α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=tan[2（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{17}{31}$．

点评 本题考查同角三角函数关系、二倍角公式、两角差的正切公式．