Question

5．在平面直角坐标系内，点A（1，2），B（1，3），C（3，6），则三角形ABC面积为1；三角形ABC外接圆标准方程为$（x-5）^{2}+（y-\frac{5}{2}）^{2}=\frac{65}{4}$．

Answer 1

分析 找出三角形ABC的底边和底边对应的高，从三点位置AB为底边，点C的横坐标与点A的横坐标的差的绝对值即为△ABC底边AB上的高；设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆的方程．

解答 解：由题意知点C的横坐标与点A的横坐标的差的绝对值即为△ABC底边AB上的高，
∴|AB|=3-2=1．
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×1×（3-1）=1$．
设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
∵点A（1，2），B（1，3），C（3，6）都在圆上
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+4+D+2E+F=0}\\{1+9+D+3E+F=0}\\{9+36+3D+6E+F=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{D=-10}\\{E=-5}\\{F=15}\end{array}\right.$．
因此，圆的方程为x²+y²-10x-5y+15=0，即$（x-5）^{2}+（y-\frac{5}{2}）^{2}=\frac{65}{4}$．

点评 本题考查了圆的标准方程，考查了三角形面积的求法，关键是找出三角形ABC的底边和底边对应的高，是基础题．