Question

已知两个非零向量

a

和

b

所成的角为θ（0≤θ≤π），规定向量

c

=

a

×

b

，满足：
（1）模：|

c

|=|

a

||

b

|sinθ；
（2）方向：向量

c

的方向垂直于向量

a

和

b

（向量

a

和

b

构成的平面），且符合“右手定则”：用右手的四指表示向量

a

的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度θ到向量

b

的方向，大拇指所指的方向就是向量

c

的方向．
这样的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积．
对于向量的叉乘运算，下列说法正确的是

 

．
①

a

×

a

=

0

；      
②

a

×

b

=

0

等价于

a

和

b

共线；
③叉乘运算满足交换律，即

a

×

b

=

b

×

a

；
④叉乘运算满足数乘结合律，即λ（

a

×

b

）=（λ

a

）×

b

=

a

×（λ

b

）．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：①|

a

×

a

|=|

a

|2sin0=0，可得

a

×

a

=

0

；
②

a

×

b

=

0

?|

a

| |

b

sinθ|=|

0

|=0?θ=0或π?

a

和

b

共线；
③虽然满足|

a

×

b

|=|

b

×

a

|，但是

a

×

b

与

b

×

a

的方向相反；
④|λ（

a

×

b

）|=|（λ

a

）×

b

|=|

a

×（λ

b

）|=|λ| |

a

| |

b

|sinθ，再利用“右手定则”即可得出．

解答： 解：①|

a

×

a

|=|

a

|2sin0=0，∴

a

×

a

=

0

，正确；
②

a

×

b

=

0

?|

a

| |

b

sinθ|=|

0

|=0?θ=0或π?

a

和

b

共线，正确；
③虽然满足|

a

×

b

|=|

b

×

a

|，但是

a

×

b

与

b

×

a

的方向相反，叉乘运算不满足交换律，因此不正确；
④|λ（

a

×

b

）|=|（λ

a

）×

b

|=|

a

×（λ

b

）|=|λ| |

a

| |

b

|sinθ，再利用“右手定则”可知：叉乘运算满足数乘结合律．
综上可得：只有①②④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了新定义向量的叉乘运算、向量共线、向量的模，考查了推理能力和计算能力，属于难题．