Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2．
（1）求PC与平面PBD所成的角；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使得PC⊥平面ADE？并说明理由．

Answer 1

连接AC，设AC∩BD=O，连接PO
∵PD⊥平面ABCD，CO?平面ABCD∴PD⊥CO
由ABCD为正方形，知CO⊥BD
∵PD∩BD=D∴CO⊥平面PBD
∴∠CPO是直线PC与平面PBD所成的角
在Rt△POC中，sin∠CPO=

CO

CP

=

2

2 2

=

1

2

∴∠CPO=

π

6

∴直线PC与平面PBD所成的角为

π

6

（2）建立如图所示的空间直角坐标系D_xyz，设线段PB上存在一点E，使得PC⊥平面ADE
则存在实数λ，使得

PE

=λ

PB

（0≤λ≤1）
∵P（0，0，2），B（2，2，0）∴

PB

=(2，2，-2)
∴

DE

=

DP

+

PE

=

DP

+λ

PB

=(0，0，2)+(2λ，2λ，-2λ)=（2λ，2λ，2-2λ）
由题意显然有AD⊥平面PCD∴PC⊥AD 要使PC⊥平面ADE，只需

PC

⊥

DE

即

PC

•

DE

=0∴0×2λ+2×2λ-2（2-2λ）=0
∴λ=

1

2

∈[0，1]
故在线段上存在一点E（E为线段的中点）使得PC⊥平面ADE