Question

【题目】（本小题满分为14分）已知定义域为R的函数是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝1.（2）

【解析】

试题分析：（1）利用奇函数性质列出两个独立条件解出a，b的值，注意要验证. 因为定义域为R，所以有f（0）＝0，从而b＝1.再取f（1）＝－f（－1）得a＝2，代入函数验证（2）利用函数奇偶性及单调性化简不等式：因f（x）是奇函数，从而不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0等价于f（t2－2t）<－f（2t2－k）＝f（－2t2＋k）. 因为f（x）是减函数，其又等价于t2－2t>－2t2＋k.对一切t∈R恒成立，即Δ＝4＋12k<0，解得

试题解析： （1）因为f（x）是奇函数，且定义域为R，所以f（0）＝0，

即＝0，解得b＝1.

从而有.又由f（1）＝－f（－1）知，解得a＝2----6分

经检验适合题意，∴a＝2，b＝1.

（2）由（1）知

由上式易知f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数.又因f（x）是奇函数，

从而不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0等价于f（t2－2t）<－f（2t2－k）＝f（－2t2＋k）.-----10分

因为f（x）是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.

从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得