Question

【题目】已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆的短轴长为2.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点A，B和C，D.

①求的值；

②设的中点M，的中点为N，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）由短轴长为，得到，再由离心率结合计算可得椭圆方程；

（2）①由直线，过右焦点，设出直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，计算出弦长，再由两直线的斜率乘积为，将弦长中的斜率变为可得弦，相加即可得解；

②由中点坐标公式求出、的坐标，观察坐标知的中点在轴上，所以整理后利用基本不等式即可得到面积的最值；

解：（1）依题意可得解得，故椭圆的方程为；

（2）①设的方程为，，

联立消去并整理得到

，

于是

同理可得

②由①知，，，，

所以，

所以的中点

所以

当且仅当即时取等号，

所以面积的最大值为