Question

10．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin²x+$\frac{1+cos2x}{2}$，sinx），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，2sinx），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）求函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$在[0，π]上的零点．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的数量积公式求出f（x）并化简，结合正弦函数的单调性求出单调区间；
（2）令g（x）=0得到关于x的三角方程解出即可．

解答 解：（1）sin²x+$\frac{1+cos2x}{2}$=sin²x+cos²x=1，∴$\overrightarrow{m}$=（1，sinx），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+2sin²x=-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x$+\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}+2kπ$．
∴f（x）的单调增区间是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}+2kπ$]．k∈Z．
（2）g（x）=-sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$．
令g（x）=0得sin（2x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$，方程无解．
∴g（x）在[0，π]上无零点．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．